Binomialverteilung einfach erklärt: Formel, Taschenrechner und typische Aufgaben

Die Binomialverteilung ist das wichtigste Modell der Stochastik im Abitur. Sie beschreibt, wie wahrscheinlich eine bestimmte Anzahl von Treffern bei mehrfacher Wiederholung eines Zufallsexperiments ist – etwa wie oft bei 20 Würfen eine Sechs fällt oder wie viele defekte Teile in einer Stichprobe sind.

Die Bernoulli-Kette

Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei Ausgänge: Treffer (mit Wahrscheinlichkeit p) oder Niete (mit 1 – p). Wird es n-mal unabhängig wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die Zufallsgröße X zählt die Treffer. Sie ist binomialverteilt: X ~ B(n; p).

Voraussetzungen prüfen

Die Binomialverteilung ist nur anwendbar, wenn es genau zwei Ausgänge gibt, die Trefferwahrscheinlichkeit bei jeder Wiederholung gleich bleibt und die Durchführungen unabhängig sind. Ziehen ohne Zurücklegen erfüllt das streng genommen nicht – bei großen Grundgesamtheiten ist es aber eine gute Näherung. Im Abitur wird oft verlangt, diese Voraussetzungen zu begründen oder kritisch zu prüfen.

Die Formel von Bernoulli

P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 – p)ⁿ⁻ᵏ. Der Binomialkoeffizient (n über k) zählt, wie viele Pfade genau k Treffer enthalten. Beispiel: 5-mal Münzwurf, genau 2-mal Kopf: (5 über 2) · 0,5² · 0,5³ = 10 · 0,03125 = 0,3125.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Oft wird nicht nach „genau k“, sondern nach „höchstens“ oder „mindestens“ gefragt:

• Höchstens k: P(X ≤ k) – direkt mit der kumulierten Verteilungsfunktion (Taschenrechner: binomcdf bzw. Binomial-Kumuliert).
• Mindestens k: P(X ≥ k) = 1 – P(X ≤ k – 1).
• Mehr als k: P(X > k) = 1 – P(X ≤ k).
• Zwischen a und b: P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a – 1).

Der häufigste Fehler liegt in diesen Umformungen – besonders beim „– 1“ für „mindestens“.

Ein Abiturbeispiel

30 % der Kunden eines Shops zahlen mit Karte. Von 20 zufällig ausgewählten Kunden: Wie wahrscheinlich zahlen mindestens 4 mit Karte? X ~ B(20; 0,3). P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3). Mit dem Taschenrechner: P(X ≤ 3) ≈ 0,107. Also P(X ≥ 4) ≈ 0,893.

Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert ist μ = n · p – im Beispiel 20 · 0,3 = 6. Die Standardabweichung ist σ = √(n · p · (1 – p)) = √4,2 ≈ 2,05. Sie beschreibt, wie stark die Trefferzahlen typischerweise um den Erwartungswert streuen.

Mindestens-mindestens-Aufgaben

Ein Aufgabentyp, der oft vorkommt: Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit mindestens eine Sechs zu erhalten? Ansatz: 1 – (5/6)ⁿ ≥ 0,9, also (5/6)ⁿ ≤ 0,1. Mit Logarithmus: n ≥ ln(0,1) / ln(5/6) ≈ 12,6. Man muss also mindestens 13-mal würfeln.

Typische Fehler

• „Mindestens k“ mit 1 – P(X ≤ k) statt 1 – P(X ≤ k – 1) berechnet.
• Voraussetzungen der Binomialverteilung nicht geprüft.
• pdf und cdf auf dem Taschenrechner verwechselt.
• Beim Logarithmus das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht (ln(5/6) ist negativ).

Teste dich selbst

1. X ~ B(10; 0,5): P(X = 5)? – Lösung: (10 über 5) · 0,5¹⁰ = 252/1024 ≈ 0,246.
2. Erwartungswert bei n = 50, p = 0,2? – Lösung: 10.
3. Wie berechnet man P(X ≥ 3)? – Lösung: 1 – P(X ≤ 2).
4. Wie oft muss man eine Münze mindestens werfen, um mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal Kopf zu erhalten? – Lösung: 1 – 0,5ⁿ ≥ 0,95, also n ≥ 5.

Übungsblätter zu diesem Thema

Mit LocalAce erstellst du dir Übungsblätter genau zu diesem Thema – passend zu deiner Klassenstufe, mit Lösung zum Selbstkontrollieren. Hast du deine Lösung fertig, prüft der Corvi Hausaufgaben-Check sie per Foto.

• Mathe-Übungsblätter für die Oberstufe: Analysis, Stochastik und analytische Geometrie
• Mathe-Übungsblätter für die Matura: Teil-1- und Teil-2-Aufgaben üben

Häufige Fragen (FAQ)

Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.