Wie wahrscheinlich ist es, zweimal hintereinander eine Sechs zu würfeln? Oder aus einer Tüte mit roten und blauen Kugeln zwei rote zu ziehen? Solche Fragen beantwortet die Wahrscheinlichkeitsrechnung – und das wichtigste Werkzeug dafür ist das Baumdiagramm.
Ein Zufallsexperiment hat mehrere mögliche Ergebnisse, aber man weiß vorher nicht, welches eintritt. Die Wahrscheinlichkeit gibt an, wie sicher ein Ergebnis ist – als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher). Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt die Laplace-Regel: Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl aller Ergebnisse. Eine Sechs beim Würfeln: 1/6.
Wird ein Experiment mehrfach hintereinander durchgeführt – zweimal würfeln, dreimal eine Münze werfen –, spricht man von einem mehrstufigen Experiment. Hier wird das Baumdiagramm unverzichtbar.
Jede Stufe des Experiments bildet eine Ebene. Von jedem Punkt verzweigen Äste zu den möglichen Ergebnissen, an jeden Ast schreibt man die Wahrscheinlichkeit. Beispiel: Zweimal eine Münze werfen. Erste Ebene: Kopf (1/2) oder Zahl (1/2). Von jedem Ergebnis aus zweite Ebene: wieder Kopf (1/2) oder Zahl (1/2). So entstehen vier Pfade: KK, KZ, ZK, ZZ.
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. P(KK) = 1/2 · 1/2 = 1/4. Zweimal eine Sechs: 1/6 · 1/6 = 1/36.
Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert. „Genau einmal Kopf“ umfasst KZ und ZK: 1/4 + 1/4 = 1/2.
In einer Tüte sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln gezogen.
Der Unterschied ist entscheidend: Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe.
„Mindestens einmal“ lässt sich oft leichter über das Gegenereignis berechnen: P(mindestens eine Sechs bei zwei Würfen) = 1 – P(keine Sechs) = 1 – 5/6 · 5/6 = 1 – 25/36 = 11/36.
An jeder Verzweigung müssen die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben. Und die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade zusammen ebenfalls 1. Das ist eine schnelle Kontrolle für das gesamte Baumdiagramm.
Bei vielen Stufen wird der Baum schnell unübersichtlich. Dann zeichnet man nur die Pfade, die für das gesuchte Ereignis wichtig sind. In der Oberstufe führt dieser Gedanke zur Binomialverteilung, bei der man Pfade nicht mehr zeichnet, sondern zählt.
Mit LocalAce erstellst du dir Übungsblätter genau zu diesem Thema – passend zu deiner Klassenstufe, mit Lösung zum Selbstkontrollieren. Hast du deine Lösung fertig, prüft der Corvi Hausaufgaben-Check sie per Foto.
Alle Übungsblätter nach Fach und Klasse findest du in der Übersicht.
Übe genau das Thema, das dran ist.
In weniger als einer Minute eingerichtet – komplett kostenlos registrieren.